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Figures historiques : Yahya ould Hamidoune, grand Mauritanien, Homme singulier, mathématicien d’exception… Par Alain Plagne*

 

Yahya Ould Hamidoune est décédé `a Paris vendredi 11 mars tôt dans la nuit après une brève maladie. Il a été enterre le dimanche 13 dans le cimetière « de sable » du village familial a 150 kilomètres au sud-est de Nouakchott (quelque part entre Tighent et Boutilimit).

Une enfance africaine

 Yahya ould Hamidoune est ne en octobre  1947 a Atar en Mauritanie, au sein d’une famille  érudite de la tribu des Owlad Dayman. A cette époque, Mokhtar, son père, enseigne a la medersa, l´ecole franco-arabe. Il deviendra par la suite [1] le grand encyclopédiste – historien, géographe, grammairien, juriste, poète, etc. – de la Mauritanie (auteur d’une  encyclopédie en 42 volumes, La vie mauritanienne  et, des 1952, d’un précis [3]) et occupera des fonctions élevées (il sera  notamment corédacteur de la constitution mauritanienne de 1959 [2], conseiller a la présidence [6], etc.). La famille est cependant, si l’on peut dire, plus « littéraire » que « scientifique » même si, au dix-neuvième siècle, l’un des ancêtres de Yahya,  Mohand Bˆaba ould Abeyd, s’intéresse déjà a la logique [1]… Pendant son enfance,  Yahya croise Theodore Monod avec qui son père travaille `a l’IFAN, l’Institut Français d’Afrique Noire, `a Dakar (Sénégal), rencontre qui le marquera toute sa vie. A  15 ans, Yahya part étudier  au Caire, en Egypte. Il y restera jusqu’à l’achèvement de ses études de deuxième cycle universitaire de mathématiques.

Sa formation mathématique initiale repose surtout sur l’algèbre pour laquelle il  gardera une grande attirance, notamment pour sa capacité `a fournir des résultats  très précis. Au contraire, sa connaissance moins experte des méthodes de type  analytique lui fera trouver d’autant plus révolutionnaire l’usage des méthodes de sommes exponentielles (analyse de Fourier) en combinatoire additive.  En 1970, rentre a Nouakchott, Yahya enseigne au Lycée National (l’université  de Nouakchott ne sera créée que dix ans plus tard, et seule une Ecole Normale

Supérieure est chargée de la formation des enseignants de lycée). Yahya donne  ses cours mais sa grande affaire, a cette époque, ce sont les jeux, notamment  les dames mauritaniennes, dont il s’impose immédiatement comme le champion  national. La passion des jeux lui fera pratiquer également les échecs, mais aussi le tarot et le bridge, qu’il apprendra d’un jeune enseignant français au Lycée National  et plus tard le backgammon. Durant ces années de jeunesse, on le retrouve aussi  au milieu des mouvements de révolte (liée a un sentiment anti-n´eocolonialiste) de la société mauritanienne. Cela lui coutera plusieurs mois de prison, dont il gardera un souvenir cuisant. Mais, peut-être paradoxalement, ses amis de l’´epoque voient  en lui un esprit pur et tr`es brillant mais peu intéressé par le monde matériel.

La formation mathématique

Ce n’est qu’en 1975 que, se cherchant un nouveau défi intellectuel, Yahya décide  de s’essayer `a la recherche en mathématiques. Il part alors en France, a Paris, ou il  suit des enseignements de théorie des graphes au niveau DEA puis entame une thèse  a l’universite Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6 a Jussieu) avec Michel Las Vergnas. Ce  dernier le décrit comme un étudiant supérieurement doué. Sa première publication  Sur les atomes d’un graphe orient´e, parue dans les Comptes Rendus de l’Académie  des sciences, date de 1977. Ses résultats en théorie de la connectivite transforment rapidement Yahya en un expert du sujet. Il obtient sa thèse de troisième cycle  (intitulée Quelques problèmes de connexité dans les graphes orient´es) en février  1978 et entre au CNRS en 1979. Il débute sa carrière dans l’´equipe de Claude Berge `a l’universite Pierre-et-Marie-Curie, et passe sa th`ese d’´etat Contribution `a  l’´etude de la connectivite d’un graphe d`es juin 1980. En 1981, Yahya est promu  Charge de Recherche de première classe.

Le développement de sa carrière

Jusqu’au milieu des années 80, Yahya travaille presque exclusivement en théorie des graphes, essentiellement sur des problèmes de connexité. Mentionnons quelques  incursions durant cette période dans le domaine des jeux combinatoires et des  matroıdes  a l’occasion de plusieurs articles en collaboration avec M. Las Vergnas,  portant notamment sur une version orientée du jeu de commutation de Shannon  dans le cadre des matroıdes orientes. C’est aussi `a cette  époque que, sur le conseil  de P. Camion, Yahya lit le livre de H. B. Mann, Addition theorems portant sur le  concept de somme de Minkowski (ou encore, somme d’ensembles), A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}, pour A et B deux sous-ensembles non vides d’un monoıde donne. `A cette lecture, il  se rend compte que lorsqu’on spécialise ses résultats en connectivite `a une certaine  classe de graphes (graphes de Cayley), on obtient des ´énoncés importants en théorie  additive des nombres ; en d’autres termes, certains résultats de connexité graphique généralisent, sous forme déguisée, certains résultats de théorie additive. C’est la  naissance de la tr`es fructueuse méthode isoperimetrique.  Yahya commence alors  une impressionnante moisson de résultats, retrouvant, améliorant ou généralisant  (typiquement `a des situations non-abéliennes) nombre de résultats classiques en  théorie additive des nombres, `a commencer  évidemment par le vieux théorème  de Cauchy-Davenport sur la taille minimale d’une somme d’ensembles modulo un  nombre premier p : si A et B sont deux sous-ensembles non vides de Z/pZ, on a  |A + B| > min(|A| + |B| − 1, p).  Mais tous les résultats classiques vont bientôt suivre, notamment des théorèmes  d’Olson, Chowla,Mann, Shepherdson, Shatrowsky, Vosper, Kneser, Kemperman, …  Une th´eorie de la paire critique sera  obtenue en non-abélien, des résultats `a la Kemperman  étendus (description des ensembles extrémaux pour certains problèmes  additifs en terme de progressions arithmétiques avec trous). Yahya obtiendra  également de nombreuses généralisations du théorème d’Erd˝os-Ginzburg-Ziv (sur  les séquences sans sous-somme nulle).

Quelques grands résultats  .

On l’a dit, Yahya a commence par s’intéresser `a la théorie des graphes, et  notamment aux problèmes de connexité dans les graphes orient´es. Pour ces graphes,  il a développé une théorie parallèle `a la théorie des fragments et des atomes que  W. Mader avait introduite dans le cas des graphes non orientes. En utilisant sa  théorie, Yahya a pu démontrer notamment que la conjecture de Caccetta-H¨aggkvist  (1978) est vraie dans le cas des graphes sommets-transitifs.  Son plus célèbre résultat reste sans doute la preuve d’une conjecture datant du  début des années 60 due a Erdos et Heilbronn, conjecture qui avait suscite de très  nombreux travaux et pour laquelle on ne disposait que de résultats partiels. Tant  qu’`a faire, ce théorème portant sur le cardinal minimal d’une somme restreinte  modulo un nombre premier p, qu’il démontre avec J. A. Dias da Silva en 1991  et publie discrètement en 1994 sous le titre Cyclic spaces for Grassmann dérivatives  and additive theory dans le Bulletin of the London Mathematical Society, est  directement obtenu sous une forme généralisée qui énonce que  |h∧A| > min(h|A| − h2 + 1, p)  o`u h∧A = {a1 + ・ ・ ・ + ah, a1, . . . , ah ∈ A, ai 6= aj pour tous 1 6 i 6= j 6 h}.  C’est bien loin d’être la seule conjecture que Yahya ait démontrée. Il aimait  d’ailleurs relever les défis et donc s’attaquer aux problèmes laisses ouverts par  d’autres. C’´etait notamment l’occasion de tester son approche isoperimetrique,  qu’il pensait pouvoir appliquer `a un tr`es grand nombre de situations. Voici quelques  autres exemples.

Si G est un groupe abélien, le nombre critique de G est le plus petit entier tel  que tout sous-ensemble S de G de cardinal au moins ce nombre vérifie l’assertion  que tout élément de G peut s’´ecrire comme la somme des éléments d’un certain  sous-ensemble de S. En 1999, avec W. Gao (On additive bases, publie dans Acta  Arithmetica), Yahya a résolu la conjecture que G. T. Diderrich avait énoncée (1975)  sur la valeur de ce nombre. Plus récemment, avec A. Llad´o et O. Serra (2008),  Yahya avait répondu `a une question analogue de V. Vu dans le cas ou l’on se restreint `a des ensembles S d’inversibles d’un groupe cyclique donne. Yahya aimait également beaucoup le problème de Frobenius sur les valeurs de  formes linéaires en nombres entiers positifs. Il a résolu en particulier la conjecture d’Erd˝os-Graham-Lewin-Dixmier concernant les familles de coefficients conduisant  `a un grand nombre de Frobenius. Tout récemment encore, Yahya avait résolu brillamment, et de façon élémentaire,  une conjecture de T. Tao portant sur une version non commutative du théorème  de Kneser (voir [7]). En fait, je me souviens que c’est presque immédiatement  `a la lecture de la question qu’il a su qu’il allait pouvoir y donner une réponse.

Il est probable que le résultat – peut-être sous une forme informelle – lui ´était  préalablement familier et existait dans son vivier mental de résultats, ceux qu’il  pouvait probablement démontrer, mais dont il ne s’attaquait `a la rédaction que  si l’occasion s’en présentait… quand tant d’autres publient ce que lui considérait  – c’´etait son cote élitiste – comme des remarques. En l’occurrence, la publication  de la question sur le blog de T. Tao aura juste agi comme un déclencheur. `A mon  avis, la valeur des autres trésors de ce vivier, ceux que Yahya a emport´es avec lui,  est inestimable.

En 35 ans de recherche mathématique, Yahya aura rédigé une centaine d’articles  qu’il avait pris l’habitude de mettre sur arXiv les dernières  années. Il a eu de  nombreux coauteurs mais c’est avec Oriol Serra (Barcelone) qu’il aura le plus  collabore.

Le prix Chinguitt

En 2001, le président de la République Mauritanienne lui remet le premier prix  Chinguitt pour les sciences et techniques, pour ses travaux en théorie additive des  nombres. Il est alors unanimement reconnu comme le plus grand mathématicien  mauritanien. Yahya mettra immédiatement ce prix au service de la promotion de  la recherche fondamentale en Mauritanie en organisant en 2002 un congres  scientifique international rassemblant toute la diaspora, toutes sciences confondues.

En France, le système – montrant ses limites – ne lui accordera jamais le titre de Directeur de Recherche, qu’il méritait `a l’´evidence pour ses travaux scientifiques d`es la fin des années 80. On lui reprochait notamment son faible encadrement  de doctorants. Pourtant, de tr`es nombreux thésards et jeunes mathématiciens ont  bénéficié de son savoir et de ses conseils, qu’il dispensait généreusement et sans  calcul. Les systèmes humains favorisent souvent ceux qui leur ressemblent. La vérité  oblige `a dire que Yahya, lui, était un original, mathématiquement bien sur, mais  aussi par sa discrétion et sa modestie, son refus des compromissions et son intégrité  morale sans faille.

Sa façon de faire des mathématiques

Yahya  était un intuitif. Il sentait les résultats avant d’en vérifier les détails, pouvant  souvent donner un plan d’attaque précis, avec étapes intermédiaires, avant  tout calcul. Il aimait moins – comme beaucoup d’autres – l’´etape de la rédaction et  de la vérification de tous les détails. Je me souviens que lorsque nous écrivions un  article ensemble, il m’´ecrivait des courriers électroniques me disant par exemple : Nous devrions pouvoir raccourcir et généraliser cette preuve et donnait quelques  indications très générales, que je ne comprenais pas forcement. Mais `a toutes mes  questions, il apportait des réponses. Elles arrivaient parfois seulement après plusieurs  jours, mais Yahya ´était sur de son fait, même lorsque les calculs n’´etaient  pas du tout évidents.  Yahya aimait par-dessus tout la brièveté des arguments, considérant souvent la  qualité d’une preuve `a l’aune de sa longueur. Plus généralement, il estimait que,  trop long, un article mathématique perdait de sa superbe et devenait moins lisible.

L’humaniste mauritanien

Mais Yahya n’´etait pas seulement un mathématicien, surtout lorsqu’il se trouvait  en Mauritanie ou il se rendait plusieurs fois par an. Tous les témoignages que j’ai pu  recueillir dressent le portrait d’un homme célèbre malgré lui et aime en Mauritanie  (`a l’arrivée de son cercueil en Mauritanie, en pleine nuit, une foule d’environ cinq  mille personnes – dont certaines s’´etaient donne rendez-vous via un réseau social –  l’attendait pour lui rendre hommage).  Yahya aimait passionnément son pays pour lequel il souffrait `a chaque nouveau  désordre politique ou mauvaise nouvelle. Profondément honnête (pas seulement en  mathématiques), c’est peut-être le problème de la corruption qui le rendait le plus  pessimiste. Malgré l’adversité, il aura lutte inlassablement pour la démocratie en

Mauritanie : on trouve trace de ses appels et de pétitions qu’il a organisées ou  signées sur internet. ´Egalement passionne par le combat pour l’´ecologie, il défendit  bec et ongles le Parc National du Banc d’Arguin – inscrit au patrimoine mondial  de l’UNESCO et dont il faisait partie du Conseil Scientifique – notamment en 2005 contre une compagnie pétrolière australienne. `A cette occasion, il chaperonna une  jeune équipe de journalistes pour l’aider `a tourner un film sur la corruption locale  et les désastres  écologiques, Between the oil and the deep blue sea (voir le site du  film [8]). De façon amusante, Yahya est présenté dans le film comme un militant  environnemental. L’´equipe du film m’a confie garder un souvenir impérissable du tournage.

Un des plus grands services qu’il pensait devoir rendre `a son pays était d’y  promouvoir l’´education. Yahya travailla ardemment avec un jeune mathématicien  mauritanien, professeur en Allemagne, Mohameden ould Ahmedou, a une reforme  du système d’enseignement pour créer un système du type classes préparatoires en  Mauritanie. L’´echec de cette tentative ne refroidit pas les ardeurs éducatives de  Yahya. Tr`es récemment encore, il m’avait engage a venir promouvoir le concours  d’entrée international de l’´Ecole polytechnique auprès des plus brillants étudiants  mauritaniens, par amour de l’humanité, disait-il. Il tenait a associer le Sénégal,  voisin de la Mauritanie qu’il connaissait bien, a cette démarche.  Yahya est toujours reste, selon les  témoignages, un homme du désert, de la  solitude et de la méditation. Parallèlement, il  était cependant tr`es heureux de vivre  en France au pays de la devise républicaine Liberté, ´Egalite, Fraternité. Je crois  que l’´equilibre qu’il avait trouve entre la société française et la vie mauritanienne  lui plaisait, ne retenant que le meilleur de chacun. Si Yahya souhaitait importer une forme d’´elitisme français en Mauritanie, il aurait aime apporter une forme de  sagesse maraboutique (ou les batailles ne dépassent pas un échange de paroles  piquantes exprimées en vers [4]) en France, notamment `a l’occasion de conflits  entre personnes : les mathématiques sont faites pour renforcer l’amitié, disait-il.  Parallèlement, Yahya conservait en toute circonstance son indépendance d’esprit  ou, dit autrement, aimait verifier les choses par lui-même. Par exemple, malgré une  éducation religieuse, Yahya était un laïc fervent, ce qui finissait de le rendre unique  en Mauritanie, o`u il demeurait une sorte de curiosité.

Quelques souvenirs plus personnels.

 Apres ma thèse, j’ai commence `a travailler `a l’´Ecole polytechnique. `A cette époque, la théorie additive des nombres qu’on n’appelait pas encore Combinatoire  additive n’´etait guère développée en France en dehors de Bordeaux o`u J.-M. Deshouillers  encadrait une petite équipe dont je suis issu.  En poste a Paris, j’ai contacte Yahya assez vite en 1999 pour rompre l’isolement. Il m’a tout de suite accueilli… avec des problèmes, qui ont débouche, entre autres,  sur nos trois publications communes mais surtout sur un apprentissage de ses  methodes, passionnant et formateur pour moi.  Il me fixait fréquemment rendez-vous `a Chevaleret pour de brèves (mais intenses)  discussions. Comme pour les articles, le plus court était le mieux.  Tres récemment, il s’´etait intéressé au problème des sommes d’homothétiques d’un ensemble d’entiers fixe. Je lui avais parle de mon souhait de démontrer un  résultat analogue dans Z/pZ et il m’encouragea fortement, me prévenant que le  problème était difficile. J’ai juste eu le temps de lui dire que j’avais obtenu une  version faible de ce résultat [5], ce qui lui fit, je crois, plaisir.  En plus du souvenir d’un grand mathématicien, je garderai de Yahya celui d’un homme aux qualités humaines et `a la grandeur morale exceptionnelles. C’´était  également un homme d’une grande pudeur et, pour le dire simplement, un homme  aimable. Je me souviens de la stratégie qu’il a employée pour m’offrir un livre (sur  les oiseaux du Banc d’Arguin) juste avant Noel 2010 : après m’avoir d’abord prête  le livre, il m’interrogea pour savoir si le livre avait plu `a mes enfants. Lorsque je lui  répondis que oui, il conclut : eh bien alors, il faut que tu le gardes.

Hommages

Plusieurs hommages lui ont d’ores et déjà  été rendus : une Journée spéciale a été organisée le 29 mars a l’université Pierre-et-Marie-Curie (voir [9]). L’Association  des Jeunes Mauritaniens de France a également organise une rencontre en l’honneur  de Yahya, le 9 avril 2011 `a Paris, `a laquelle le Conseiller culturel de l’ambassade  de Mauritanie en France a pris part. Des sites internet centralisent informations  et photographies, voir [10] ou [11]. Pour citer encore un exemple, C. Villani lors  d’un colloque `a l’UNESCO `a la mi-avril 2011 o`u il s’est exprime sur la place des  mathématiques en Afrique, a ´évoque la mémoire de Yahya, mathématicien africain  exemplaire. Ajoutons qu’un numéro special de l’European Journal of Combinatorics  lui rendra hommage. Enfin, une conférence internationale en combinatoire additive  devrait être dédiée `a sa mémoire `a  l’´et´e 2012. Qui sait si d’ici l`a l’université de  Nouakchott ne portera pas le nom de Yahya ould Hamidoune ?

Remerciements : pour rédiger cette note, j’ai profit´e de conversations avec  Mohameden ould Ahmedou, Violeta Ayala et Dan Fallshaw, Adrian Bondy, Abdel  Wedoud ould Cheikh, Toka Diagana, Sidi-Mahmoud Kaber, Michel Las Vergnas,  Mohamed El Mokhtar ould Bah et Patrick Sargos. Je les remercie du temps qu’ils  m’ont consacre et des informations qu’ils ont bien voulu partager avec moi.

References

[1] P. Bonte, E. Conte, C. Ham`es, A. W. ould Cheick, Al-ansab, la quete des origines, anthropologie  historique de la societe tribale arabe, Maison des Sciences de l’Homme, 1991.  [2] M. ould Daddah, La Mauritanie contre vents et marees, Kathala, Coll. Hommes et  Societes, 2003. [3] M. ould Hamidoun, Precis sur la Mauritanie, IFAN, Dakar, 1952.  [4] M. ould Hamidoun, A. Leriche, Coutume d’autrefois en Mauritanie, Bulletin de l’IFAN XIV,  1 (1952), 344-350.  [5] A. Plagne, Sum of dilates in groups of prime order, http://arxiv.org/abs/1104.1997.  [6] M. Villasante Cervello, Colonisations et heritages actuels au Sahara et au Sahel, Ch. 7, Les  producteurs de l’histoire mauritanienne. Malheurs de l’influence coloniale dans la reconstruction  du passe des sociétés sahelo sahariennes, L’Harmattan, 2007.  [7] http://terrytao.wordpress.com/2011/03/12/hamidounes-freiman-knesertheorem-  for-nonabelian-groups [8] http://www.roninfilms.com.au/feature/764.html

[9] http://people.math.jussieu.fr/~balandraud/YoH/YoH.html  [10] http://www.math.jussieu.fr/~mlv/YOH/YOH.html  [11]  http://www.math.polytechnique.fr/~plagne/hamidoune.html  c M. Las Vergnas

 

Source : Mariella Villasante Cervello

 

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*Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, Ecole polytechnique, Palaiseau.

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